民國九十五年二月．貨幣市場第十卷第一期

DCC多變量GARCH模型之風險值計算

─G7及臺灣等八國股市投資組合之實證研究

李命志、 陳志偉、黃小菁

摘要

本文應用Engle(2002)所提出的DCC多變量GARCH模型去估計七大工業國(G7)與台灣股價指數所組成八國股市投資組合之風險值。比較SMA、EWMA、DCC-GARCH及DCC-GARCH-t等四種模型在風險值之預測能力,在回溯測試採用Kupiec (1995) PF檢定與RMSE資金運用效率之評估準則下,實證研究發現DCC-GARCH-t模型因較能捕捉厚尾及波動群聚現象,故其風險管理績效優異,為估算國際股市投資組合風險值的較佳選擇。另本文亦發現八國股市間之相關性及風險值會隨著波動性之提高而上升,說明國際股市之波動性及相關係數為動態之時間序列,此可做為資產管理及投資組合分散風險之良好參考。

壹、前言

近年來,在國際資金全球化趨勢下,各國金融主管機關持續放寬金融管制、推動市場國際化,國際投資組合的建立遂為投資的主要潮流。該潮流有助於全球資源的有效配置,提高投資效益;然而,隨著國際間資本移動日益頻繁,各國證券市場之價格波動亦較以往更為顯著,投資者在面對多樣化的投資機會時,也承受更多元化的風險來源,故投資組合風險管理也因此成為主管機關及相關從業單位關注的焦點,而提到風險管理,便不得不提到用以量化風險的工具,其中又以風險衡量工具風險值(Value at Risk,VaR)最被廣為討論。故本文以八國股市所組成之投資組合為研究標的,期望能正確計算投資組合之風險值,以加強對國際股市投資組合之風險控管。

一般在VaR的計算過程中,涉及投資組合報酬率之變異數與共變異數矩陣(variance-covariance matrix)的估計,因此,精確的變異數與共變異數矩陣之預測可以提高VaR的正確性。計算一投資組合風險值的關鍵便在於所配適的計量模型必須要能正確描繪報酬率變異數與共變異數間分配的型態。本研究欲探討由一般化自我迴歸條件異值變異數(Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity,GARCH)模型推估而得的變異數與共變異數矩陣,來解決財務時間數列中波動群聚(volatility clustering)及厚尾(fat-tail)現象等兩大課題。

本文主要應用Engle(2002)提出之動態條件相關(Dynamic Conditional Correlation,DCC)多變量GARCH模型計算八國(G7之美國、英國、日本、德國、法國、加拿大、義大利以及臺灣)股價指數[1]所組成之投資組合風險值,DCC模型可保證正定並可應用於多資產(數十個資產以上),例如100個資產(Engle and Sheppard 2001),該模型於估計參數上具有效率,隨著電腦運算功能之大量進步,多變量DCC-GARCH模型於解決實務問題上具有相當潛力,尤其本論文亦探討持有八國股市投資組合超過1天期(如10天)之風險值,其對多變量模型優劣之比較,極適合運用於金融市場投資組合之風險管理。

本研究有三個特色,第一個特色是本文運用Engle(2002)之多變量DCC-GARCH模型於八國股市投資組合之風險值計算,結合多變量GARCH模型及動態條件相關之特性,以增加在市投資組合風險值之估計能力,並獲致DCC-GARCH(1,1)-t 模型表現最佳之實證結果。第二個特色為針對風險值模型之回溯測試(backtesting)以大量之滾動(rolling)次數來提昇驗證模型之可靠度。一般多變量GARCH模型因估計參數較多及模型之複雜度致使執行時間較長,早期五變量之GARCH模型估計時間動輒長達數十分鐘,遑論八變量模型之估計,本研究透過DCC模型有效率之估計方式及現行電腦強大之運算能力,以移動視窗方式執行滾動估計之次數高達1646次,如此可由增加測試樣本數來加強驗證模型之正確性。第三個特色是經由動態之滾動波動性(rolling volatility)及滾動相關性(rolling correlation)來探討八國股市間之動態關係,本研究探討由共變異數矩陣拆解出之相關係數矩陣,並在滾動過程中分析相關係數及共變異數之動態關係,以做為投資組合管理、動態資產配置及風險控管之參考。本文的結果可提供國內相關企業於國際股市風險管理上之重要參考。

本文藉由回溯測試之穿透率檢定(如Kupiec PF test)及資金運用效率(如RMSE)之評估準則,實證結果發現DCC-GARCH模型在八國股市投資組合風險值之預測能力優於SMA及EWMA模型。另八國股市間之相關性及風險值會隨著波動性之提高而上升,說明國際股市之波動性及相關係數為動態之時間序列。本文結構如下:第一節為緒論,第二節為文獻回顧,第三節說明本文的研究方法,第四節為實證結果,第五節為本文結論。

貳、文獻回顧

在風險值模型的研究上,Hendricks(1996)觀察1978年1月到1995年1月間的八種外幣匯率資料,使用簡單移動平均法(Simple Moving Average,SMA)、指數加權移動平均法(Exponentially Weighted Moving Average,EWMA)、歷史模擬法,並以不同的衰退因子(decay factor)、估計期間等參數設定,進行風險值的估計。實證結果發現市場波動的狀況存在條件變異數的情形,而以EWMA的風險預測效果優於SMA。類似的結果在國內研究的文獻上亦可見到。Goorbergh and Vlaar(1999)對荷蘭AEX股價指數與道瓊工業指數進行風險值之研究亦發現以GARCH-t分配估計出來之風險值能捕捉厚尾特性及波動群聚現象,故其風險預測效果較佳。由這些研究結果發現,當標的資產具有厚尾特性及波動群聚現象時利用GARCH相關的估計方式確實能夠提昇風險值之預測效果。

在多變量GARCH模型之估計上,Bollerslev, Engle and Wooldridge (1988)提出vech形式,其由最大概似法估計之完全無限制(full unrestricted)模型參數之複雜度為O(n⁴),所要估計的參數過多,更重要的是估計出的參數不一定使條件共變異數矩陣為正定。Engle and Kroner(1995)提出BEKK模型,其利用二次形式建構條件共變異數矩陣,因而不需要對參數形式做限制,就保證條件共變異數矩陣為正定,一標準BEKK模型估計參數之計算複雜度為O(n²)。Bollerslev(1990)提出固定條件相關(Constant Conditional Correlation,CCC)模型,加入條件相關係數為固定的假設,其計算複雜度為O(n²)且保證正定,惟其條件相關係數為固定的假設並未能建立一致(consistent)之標準差,並與金融市場資產間實際觀察相關係數多為變動之現象不盡相同。Engle(2002)改進CCC模型相關係數為常數之假設,以及一般多變量GARCH矩陣估計參數甚多,所需時間較久等缺點,發展出動態條件相關(Dynamic Conditional Correlation,DCC)模型,此模型保留原先Bollerslev(1990) CCC模型簡潔之估計方式,再加上相關係數與時俱變(time-varying)之特性,其計算複雜度為O(n)且保證正定。

張維敉(2002)利用Engle and Sheppard(2001)提出之DCC-多變量GARCH模型探討亞洲金融危機時期,亞洲國家包括印尼、日本、馬來西亞、菲律賓、韓國、台灣與泰國等匯率市場和股票市場彼此間的動態條件相關性。其實證結果發現採用固定相關係數來衡量不同市場彼此間的影響似乎易造成高估或低估彼此間的相關性,尤其在波動性發生劇烈變化之時,進而影響避險效果或風險值之計算。郭憲鍾(2004)探討國際金融市場的整合程度,以10個主要國際股票市場的指數報酬資料為分析對象,應用DCC-GARCH模型估計條件相關係數,並進而根據其對應的變異數共變異數矩陣預測值計算風險值,檢測動態條件相關是否為合理的設定。此外,本研究亦探討相關係數之不對稱性(asymmetry)現象是否存在於國際股票市場間的相關係數。然而估計結果顯示,動態條件相關模型與傳統固定條件相關模型之間並無顯著的差異,顯示不對稱性效果對股市之相關係數影響並不顯著。

經由相關文獻探討的結果,本文採用結合多變量GARCH及動態條件相關兩種特色之DCC-GARCH模型運用於股市投資組合波動性的估計,以增加股市風險值模型之預測能力;並針對八國股市間波動性及相關係數,探討其動態關係。

參、研究方法

本文採用風險值模型探討股價指數波動下,企業所面臨的市場風險。根據Jorion (2000)提出所謂風險值係指在特定的信賴水準(confidence level)下,衡量某一特定期間(holding period)中,因市場環境變動,使某一投資組合或部位所可能發生的最大損失期望值;而可能發生之最大損失期望值可以變動率、或金額的型態出現,亦可以絕對損失或相對損失之性質表達。所謂相對損失之風險值(Relative VaR)是指相對於投資組合預期平均值之金額損失,其可表示為:

                                      (1)

(1)式為持有期間t日之風險值,其中為現有資產價值,為信賴水準代表風險管理者之風險趨避程度,為資產價值之波動率。

一、投資組合風險值的計算

傳統上計算風險值的模型可分為下列三種方式,變異數-共變異數法(Variance-Covariance Approach)、歷史模擬法(Historical Simulation)與蒙地卡羅模擬法(Monte Carlo Simulation)。

本研究採用變異數-共變異數法以計算投資組合之風險值,變異數-共變異數法基本假設所有資產報酬率的分配型態皆為常態分配,但是在計算VaR時,將報酬率假設為常態分配極可能會因為低估重大變動發生的可能性而造成低估真正的風險,除了以短期的預測來看,在沒有發生重大結構改變(structural change)的情況下,常態分配的假設仍可以適用之外,本文輔以多變量GARCH模型來改善常態分配理論上的缺點,以捕捉實際分配具厚尾及波動群聚現象的情形。

以下說明計算一投資組合VaR之一般方式。假設某一機構的投資部門在t期所管理的資金為,代表該資金在第項資產之配置比重,,若定義為一標準常態分配下對應信賴水準c下的臨界值,則期投資組合報酬率之風險值VaR_p可表示為:

                  (2)

其中

為持有資產之權重向量,為變異數與共變異數矩陣。

如果我們假設,則估算即可求得投資組合之風險值。

在以一投資組合架構為評估基礎時,考慮不同資產間價格變動之相關性大小,會影響投資組合風險分散之效果。假設某一投資組合由n項資產組合而成,此組合中之個別資產權重分別為,i=1,2,…,n,為報酬率標準差,為i與j資產報酬率間之相關係數,且-1≦≦1,,則,由個別資產風險值及(2)式可推得為:

      (3)

而式(3)中相關係數決定資產間的風險分散效果,當資產數目為2時,

                            (4)

以下分別討論為1、0與-1狀況的風險值分散(diversification)效果:

1.當=1,,表示投資組合風險值等於個別資產風險值之和,不存在分散效果。

2.當=0,,表示投資組合風險值小於個別資產風險值之和,此現象說明於報酬率變動為無關狀況下的資產存在風險分散效果。

3.當=-1,,表示資產報酬率的反向變動關係,使得與相互抵銷,若資產間具有等額度風險值,則為0,表示投資組合存在最大之風險分散效果。

二、參數的估計方法

基本上,變異數-共變異數法中之變異數與共變異數矩陣可以三種方法加以估算,分別簡單移動平均法(SMA)、指數加權移動平均法(EWMA)以及GARCH模型估算法,本研究將採用前開三種模型來估計八國股市投資組合的條件變異數和條件共變異數並比較其實證之結果,以下簡單介紹各計量模型之估計方法。

SMA法為估計資產報酬變異數最單純且最直接的方法,其觀念是以移動固定視窗長度(T期)的方式,求算報酬率偏離平均值的狀況,再加以平均。其樣本變異數及樣本共變異數矩陣的計算式分別為:

                                              (5)

                                              (6)

此方法的缺點在於給予過去每筆資料相同的權重,忽略了愈近期的資料應該會提供愈契合現在市場狀況的訊息;另外也無法描述資產波動群聚與波動隨時間而改變的特性。

為了改進給予過去每筆資料相同權重之缺點,J.P. Morgan(1996)之風險矩陣(Risk Metrics)採用EWMA法來估算資產報酬率波動性,其認為越接近今天的股價波動越會影響明天的股價波動,所以越靠近的日期之波動性其權值應該越大。其樣本變異數及樣本共變異數矩陣的計算式分別為:

                                         (7)

                                             (8)

式中為遞減因子(decay factor),而且,作用在使早期的報酬率對於當期波動性影響程度隨值愈小而降低,依據J. P. Morgan所訂定之風險矩陣建議,適當的值應隨資料週期而改變,於日資料應取,於月資料應取。以指數加權移動平均估計的波動性,較簡單加權移動平均法可反映出波動群聚與隨時間而改變的現象。

Engle(1982)提出自我迴歸條件異質變異數(Autoregressive Conditional Heteroskedasticity,ARCH)模型,允許二階動差(second moment)之條件變異數會受到前期誤差項平方的影響,隱含條件變異數會隨著時間的經過而改變,解決了傳統計量模型中條件變異數為固定的不合理假設。Bollerslev (1986)將過去的條件變異數對本期的條件變異數的影響列入考慮,即是將誤差項條件變異數之落差期放入ARCH模型中,提出GARCH模型,由於GARCH模型在報酬波動率的估計上比較容易捕捉到波動群聚現象,而且對於報酬分配的厚尾現象亦較能由模型表現出來,因此在風險值的參數估算上有越來越多的估算方式採用這樣的方式。以GARCH(1,1)模型為例,其方程式表示如下:

                                                                                     (9)

其中參數之限制為、、及。

相對於單變量GARCH模型,多變量GARCH模型之優點在於同時考慮各變數間之相互關係如共變異數及相關係數等,適用在多變量之金融模型如資本資產訂價模式(Capital Asset Pricing Model,CAPM)、動態避險(dynamic hedging)、總體經濟模型等。在實證研究時,若我們同時考慮多項資產資料的條件變異數有隨時間而改變的特性,則需要透過建立一多變量GARCH模型來進行分析。由單變量GARCH模型擴展至多變量GARCH模型,須允許以零為平均數之隨機變數的條件共變異數矩陣受資訊集合元素的影響,且多變量GARCH模型的表示因參數化設定不同而有多種形式,以下介紹DCC模型:

DCC模型假設k個資產之投資組合報酬率為條件多變量常態分配,其期望值為0,條件共變異數矩陣為,DCC模型表示如下:

                                                                                                   (10)

                               (11)

其中係由單變量GARCH所估計出之變異數,為動態之相關係數矩陣。

DCC採用兩階段之估計方法,主要分成兩個步驟:

1.單變量GARCH模型的估計

在單變量GARCH模型下,其變異數可寫成:

                      (12)

其中和分別為單變量GARCH模型中前期報酬率平方的係數與前期條件變異數的係數。此外需滿足GARCH模型之平穩條件:及。

2.求得多變量GARCH的動態共變異數

首先計算 k 個資產之動態相關係數結構:

                      (13)

其中是由第一步驟算出的標準化殘差求出的非條件共變異數;為經過標準化的殘差;為DCC參數,分別為多變量GARCH模型中前期標準化殘差平方的係數與前期條件共變異的係數,並且有一致性(consistency)和漸近常態(asymptotic normality)的性質。而動態相關性DCC矩陣為:

                                                                           (14)

其中

                          (15)

而矩陣(為動態之相關係數矩陣)之各元素,且此矩陣為正定。是Q _t對角線上的值開根號所形成的對角線矩陣,若各參數符合GARCH模型之平穩條件,則,且矩陣為正定。

DCC模型在處理多個變量時,可避免過於複雜之運算,同時又不會犧牲過多之一般性(generality),其估計式之對數概似(log-likelihood)函數為:

                 (16)

其中為其條件標準差之標準化殘差。

經由前開波動性估計方法之介紹,本文主要探討SMA、EWMA及DCC-GARCH模型來估計各參數,比較Engle之DCC-GARCH是否能藉由其動態條件相關特性提昇對報酬率波動率估計的準確度。

三、風險值模型的檢定

在風險值模型之估計結果檢定上,Jorion(2000)提出以回溯測試(backtesting)來說明風險值計算模型的可接受性,回溯測試之概念為比較過去一段時間內投資組合報酬真實值和模型預測的投資組合VaR,若實際報酬落在預測範圍內,則表示為正確的預測,若實際報酬未落在預測範圍內,則表示為不正確的預測。Kupiec(1995)的Proportion of Failure Test (PF Test)目的在檢定風險值模型所設定資產報酬超過風險值的比率是否與實際穿透比率相同,其虛無假設為H₀:,檢定統計量為:

           (17)

其中為欲檢定的失誤比率

T為觀測值個數

x為實際報酬率超過模型估算的風險值次數

為實際報酬率超過風險值的比率

在風險值模型通過Kupiec(1995) PF test之回溯測試檢定後,還需對各模型進行風險預測能力效益的衡量,本文以均方誤差(Root Mean Square Error, RMSE)衡量短期資金的使用效率以衡量風險值預測績效。RMSE計算方式為:  

                                          (18)

其中為實際報酬率,為模型計算出的風險值。當風險值模型所估計出來的結果均符合失敗率之檢定,則模型之RMSE值越小表示估計之風險值越貼近真實損失,此時代表模型同時具備風險控管及資金使用效率兩種優勢。

本研究採用Kupiec(1995)提出之檢定方法來執行回溯測試,以確定模型估計的失敗率符合統計檢定;接著再對模型估計值與真實值之差距以RMSE進行資金效益的評估。

肆、實證結果

一、 資料來源與處理

本研究以八國(G7之美國、英國、日本、德國、法國、加拿大、義大利以及臺灣)為研究對象,分別蒐集這八國每日股價指數之收盤價,同時計算其日報酬率。取樣期間為1995年1月5日至2004年12月30日,由於八國股市會有假日不同的問題,若有一個國家當天沒有交易,便將其他國家當天的資料一併刪除,保留八國相同的交易日,經整理後之總樣本數為2148筆資料。此八國資料取自於Yahoo之Finance資料庫及臺灣證券交易所股價資料庫之日資料,八國股價指數資料的時間序列資料繪成趨勢圖如【圖1】所示。

【圖1 八國股價指數時間序列圖】

  美國                                         英國

日本                                          德國

  法國                                        加拿大

  義大利                                         臺灣

本文於實證上對個別股價指數報酬率之百分比定義如下:

                                        (19)

而投資組合報酬率係採平均加權(equally-weighted)之方式處理,其計算式為:

                                                    (20)

二、 基本統計量

本文將八國股價指數及其報酬率之基本統計量分別列於【表1】及【表2】。【表2】顯示八國股價指數之日平均報酬率皆小於0.05%,其平均報酬率有正有負,以美國最高(為0.048%),日本之日平均報酬率最低(為-0.0249%),顯示日本經濟低迷不振,股市表現亦較差。再觀察八國股價指數日報酬率之標準差,以臺灣的1.832%為最高,德國的1.738%次之,加拿大的1.079%最低。另外,八國股價指數日報酬率資料之偏態係數,除了英國、德國及法國外,其餘皆顯著異於零;此八國之日報酬率峰態係數均顯著大於常態分配之峰態係數3,呈現高狹峰的情形,也就是所謂的「厚尾(fat tail)」現象。

同時,經由Jarque-Bera之常態分配檢定統計量,發現八國之日報酬率JB統計值在1%顯著水準下皆大於自由度為2之卡方統計值,顯示拒絕八國之日報酬率為常態分配的假設。最後由Ljung-Box的Q(20)統計量來分析各原始時間序列資料是否具有線性相依的關係存在,結果發現八國股價指數皆呈現自我相關關係,而八國股價指數之日報酬率除日本外,其餘七國之日報酬率皆呈現自我相關現象。

【表1】八國股價指數基本統計量

附註:1. *、**、***分別表示具10%、5%及1%的顯著水準。

2. Q(20)表示時間序列資料之Ljung–Box的Q統計量。

3. JB表示 Jarque–Bera之常態檢定統計值。

【表2】八國股價指數報酬率基本統計量

附註:1. *、**、***分別表示具10%、5%及1%的顯著水準。

2. Q(20)表示時間序列資料之Ljung–Box的Q統計量。

3. JB表示 Jarque–Bera之常態檢定統計值。

三、單根檢定(Unit Root Test)

實證模型估計前,各時間序列資料必須呈現定態的情況下才能進行計量模型的分析,因此首先進行單根檢定。本文利用一般實證常用的Augmented Dickey-Fuller (ADF)和Phillip-Perron(PP)兩種檢定方法來進行單根檢定,檢定結果列於【表3】及【表4】。【表4】顯示八國股價指數時間序列資料皆為定態資料。

 【表3】八國股價指數時間序列資料之單根檢定(水準項)

附註:1. *、**、***分別表示具10%、5%及1%的顯著水準。

2.單根檢定之臨界值參考Dickey–Fuller(1981)。

【表4】八國股價指數日報酬率時間序列資料之之單根檢定(差分項)

附註:1. *、**、***分別表示具10%、5%及1%的顯著水準。

2.單根檢定之臨界值參考Dickey–Fuller(1981)。

四、ARCH效果檢定

多數的實證研究如Bollerslev(1986)、Colm and Patton(2000)及Wang and Wang(2001)的結果皆指出GARCH(1,1)模型即可對時間序列資料有相當良好的配適,因此本研究將八國股市報酬率等八個變數之配置以GARCH(1,1)過程來處理。在估計GARCH(1,1)模型之參數前,必須先檢定此模型配適所產生的殘差項,是否具有ARCH現象,若存在ARCH現象,則進一步採用一般化ARCH模型進行實證分析。本文首先採用Ljung–Box的Q檢定做為檢驗日報酬所產生的殘差項平方是否具有序列相關的工具,由【表5】可知八國日報酬之殘差項平方有序列相關之現象。另本研究使用LM(Lagrange multiplier)檢定來檢驗數列殘差項是否存在ARCH效果。由【表5】之LM檢定可以得知八國日報酬之殘差項皆存在ARCH效果。

【表5】八國股市報酬率ARCH效果檢定

附註:*、**、***分別表示具10%、5%及1%的顯著水準。

五、固定相關係數檢定

在採用DCC-GARCH模型前,必須先檢定此模型配適所產生標準化殘差(standardized residual)之相關係數是否為固定相關係數,若拒絕虛無假設(固定相關係數),即表示此模型為動態相關係數,則可進一步採用DCC-GARCH模型進行實證分析。

此處應用Engle and Sheppard(2001)提供之MATLAB 6.5程式執行固定相關係數之檢定,此固定相關係數之檢定統計量見【表6】,由其檢定統計量數值可知拒絕固定條件相關(Constant Conditional Correlation)之虛無假設,故本模型適用動態相關係數之多變量GARCH模型。

【表6】八國股市報酬率標準化殘差之固定相關係數檢定

附註: 1. *、**、***分別表示具10%、5%及1%的顯著水準。

2.檢定統計量為

其中,為估計之迴歸式參數,s為落後期數目。

六、股市投資組合風險值之估計

一投資組合風險值計算之關鍵為各金融資產報酬率之變異數共變異數矩陣,其包含對角之樣本變異數及非對角之共變異數,一般共變異數矩陣經由計算即可求得投資組合風險值。

本文主要以三種模型(SMA、EWMA、DCC-GARCH)針對八國股市所形成之投資組合(採用equally-weighted)進行參數估計以決定其風險值,其中DCC-GARCH模型採用計量軟體WinRats以最大概似估計法來估計參數。

而為了比較各模型估計預測的效果,本研究採用回溯測試(backtesting),並融入移動視窗(moving window)的概念,如【圖2】所示,視窗樣本數為500筆[2],估計期間為1天,每一次預測都加入一筆新的資料,除去舊的一筆資料,並重新對模型的參數進行估計後計算出下一日投資組合的滾動波動性(rolling volatility,如【圖2】之、、等)、滾動相關性(rolling correlation,如【圖2】之、、等)及風險值(如【圖2】之、、等),依此步驟針對未來1天及10天的風險值進行預測,然後再重覆此步驟,可得到未來一系列的風險值,接著比較風險值與實際之投資組合報酬率,計算出穿透次數及穿透率後,即可比較各種模型對風險值預測的效果。若通過穿透率測試後,則比較RMSE之大小,若RMSE值愈小愈好,表示資金使用效率愈佳,此即為較佳之模型。

【圖2】估計期間(500天)與預估1天之移動視窗方法

實證的第一步針對各模型穿透次數以Kupiec(1995)所提出之PF test的檢定步驟進行實證研究,以檢定模型的正確度,在比較各模型之穿透率後,再以績效衡量指標RMSE之優劣來決定所選擇之模型。本文對前述各模型預測能力之評估,主要以各模型所對應之VaR與實際報酬比較,亦即以回溯測試之方法作評估,並輔以均方誤差(RMSE)。前者係針對實際報酬率是否超出各模型之VaR的範圍來計算穿透次數,當次數越多,代表該模型所對應之VaR越不準;而RMSE則為損失函數(loss function)的概念,越小的RMSE值表示預測值與實際值的差距越小。一般就回溯測試與均方誤差而言,回溯測試是比較重要的。

【表7】及【表8】說明各模型在持有多頭部位(long position)及空頭部位(short position)、移動窗口(window size)取500、滾動(rolling)次數取全期(總取樣次數為1646次)、信賴水準為99%、95%及90%下預測一天風險值之穿透率及績效衡量指標RMSE之比較。

各模型(SMA、EWMA及DCC-GARCH)預測一天之VaR圖形見【圖3】,由圖可知SMA模型估計之風險值較為平緩,EWMA模型估計之風險值變動較大,而DCC-GARCH模型則介於中間。

另於【表9】及【表10】說明各模型於前開情況下預測十天風險值之穿透率及績效衡量指標RMSE之比較,該總取樣次數則為1637次。各模型(SMA、EWMA及DCC-GARCH)預測十天之VaR圖形見【圖4】,由圖可知各模型估計之風險值波動情形與預測一天之VaR情況類似。

歸納【表7】至【表10】資料,實證結果發現:

1.以預測一天風險值而言,【表7】及【表8】顯示在持有多頭部位,90%信賴水準下,及持有空頭部位,99%及95%信賴水準下,各模型都可接受虛無假設,亦即通過Kupiec穿透率之檢定,再比較資金使用效率情形,在上述三種情況下,皆以DCC-GARCH(1,1)-t表現最佳。

2.以預測十天風險值而言,【表9】顯示多頭部位在99%、95%及90%信賴水準下,各模型皆無法通過Kupiec之穿透率檢定;各模型之穿透次數中,SMA模型最少,而以EWMA模型最多。【表10】顯示空頭部位在99%、95%及90%信賴水準下,DCC模型幾乎都通過穿透比率測試,且DCC-GARCH(1,1)-t 模型亦有最低之RMSE值,故以 DCC-GARCH(1,1)-t 模型表現最佳。上開持有多、空部位經實證結果有顯著差異,其可能解釋為國際股票市場對正負面之訊息反應不同,尤其對持有十天之多頭部位,其風險值計算需特別注意。

3.以績效衡量指標RMSE而言,不論多頭部位或空頭部位,DCC-GARCH(1,1)-t 最有效率,DCC-GARCH(1,1)次之,SMA再次之,以EWMA最無效率。

4.整體而言,DCC-GARCH(1,1)-t 模型表現最佳,DCC-GARCH(1,1)模型表現次之,其餘EWMA模型及SMA模型則表現較差。

5.分析其原因,係DCC-GARCH(1,1)-t模型之分配能捕捉厚尾特性且可估測到波動群聚現象,故其風險管理績效優異。

【表7】多頭部位估計1天之風險值穿透情形及RMSE比較表

Panel A. 穿透次數

Panel B.  穿透比率

Panel C.  績效衡量指標RMSE

附註:1.*、**、***分別表示具10%、5%及1%的顯著水準。

2.視窗長度為500筆,估計1天之風險值,共估計1646天。

【表8】空頭部位估計1天之風險值穿透情形及RMSE比較表

Panel A. 穿透次數

Panel B.  穿透比率

Panel C.  績效衡量指標RMSE

附註:1.*、**、***分別表示具10%、5%及1%的顯著水準。

2.視窗長度為500筆,估計1天之風險值,共估計1646天。

 【圖3】各模型預測一天之VaR圖形

SMA模型

EWMA模型

DCC-GARCH模型

附註:最外圍者為99%信賴水準,中間95%信賴水準,最內圍者為90%信賴水準。

【表9】多頭部位估計10天之風險值穿透情形及RMSE比較表

Panel A. 穿透次數

Panel B.  穿透比率

Panel C.  績效衡量指標RMSE

附註:1.*、**、***分別表示具10%、5%及1%的顯著水準。

2.視窗長度為500筆,估計1天之風險值,共估計1637天。

【表10】空頭部位估計10天之風險值穿透情形及RMSE比較表

Panel A. 穿透次數

Panel B.  穿透比率

Panel C.  績效衡量指標RMSE

附註:1.*、**、***分別表示具10%、5%及1%的顯著水準。

2.視窗長度為500筆,估計1天之風險值,共估計1637天。

 【圖4】各模型預測十天之VaR圖形

SMA模型

EWMA模型

DCC-GARCH模型

附註:最外圍者為99%信賴水準,中間95%信賴水準,最內圍者為90%信賴水準。

七、八國股市間相關係數及共變異數分析

計算投資組合風險值之關鍵為各金融資產報酬率之共變異數矩陣,經由轉換,共變異數矩陣可變成相關係數矩陣。分析相關係數矩陣可瞭解投資組合各金融資產間之關係強弱,並經由動態條件相關係數之計量模型(如DCC模型)計算,可做為投資組合分散風險或資產管理之參考。以下探討DCC-GARCH模型在八國股市報酬率之相關係數矩陣、共變異數矩陣以及相關係數與共變異數間之關係。

本文採用移動視窗(moving window)的概念以滾動(rolling)方式來估計投資組合之共變異數矩陣,而共變異數與相關係數關係非常密切,各模型將共變異數矩陣轉換成相關係數矩陣,如此可觀察八國股市報酬率間之相關係數,經由全樣本(rolling次數為1646次)之滾動過程中,由【圖2】可知會產生滾動相關係數(rolling correlation)如,此1646個相關係數即可形成一分配,計算該分配即得相關係數之平均值與標準差,八國股市報酬率間即有個分配,。

本小節以DCC-GARCH模型為例,由【表11】可知除對角線外,八國股市報酬率相關係數平均值落在0.136252~0.812752間,而相關係數之標準差落在0.049691~0.1278983間,其中相關係數平均值最高者為法國與義大利間之0.812752,相關係數平均值最低者為臺灣與美國間之0.136252,其相關係數最高及最低之走勢圖見【圖5】及【圖6】。

由【表11】可知相關係數最高者為法國與義大利間之0.812752,表示兩者之走勢較為雷同,此代表在投資組合之同質性及替代性較高,另亦可經由(4)式找尋相關係數較高之投資標的,利用對沖的觀念以達到類似避險之效果。

另相關係數最低者為臺灣與美國間之0.136252,表示兩者之走勢差異較大,此代表在投資組合之同質性及替代性較低,另亦可經由(4)式找尋相關係數較低之投資標的以做為分散風險之工具。【圖7】說明DCC-GARCH模型中最小相關係數及最大相關係數之波動差異不同,此發現可提供資產管理領域如基金經理人在配置投資標的時,考慮動態關係變動所可能帶來風險之良好參考。

【表11】八國股市報酬率DCC-GARCH模型之相關係數矩陣平均值及標準差

附註:1. window_size=500,rolling次數為1646次。

2. 左下角為八國股市報酬率間相關係數之平均值,右上角為八國股市報酬率間相關係數之標準差。

【圖5】法國與義大利股價指數日報酬率之走勢圖(相關係數最高者)

【圖6】臺灣與美國股價指數日報酬率之走勢圖(相關係數最低者)

【圖7】八國股市報酬率DCC-GARCH模型之最大及最小相關係數圖

【表12】說明在DCC-GARCH模型下八國股市報酬率間相關係數平均值與標準差之關係,由表可知相關係數之平均值與標準差呈現反向關係,亦即兩國股市報酬率間之相關係數愈高,其相關係數之變動愈小。

【表12】八國股市報酬率間相關係數平均值與標準差之關係

附註:1. X代表兩國股市報酬率間相關係數之平均值,Y代表兩國股市報酬率間相關係數之標準差。

2.迴歸式下方括號內之數字代表各迴歸係數之t值。

【表13】說明在DCC-GARCH模型下八國股市報酬率間相關係數與共變異數之關係,由表可知八國股市報酬率間相關係數與共變異數呈現正向關係,亦即八國股市報酬率間之波動性升高時相關性會隨之上升,且各迴歸係數皆為顯著。

【表13】八國股市報酬率間相關係數與共變異數之關係

附註:1. X代表兩國股市報酬率間共變異數之平均值,Y代表兩國股市報酬率間相關係數之平均值。

2. 迴歸式下方括號內之數字代表各迴歸係數之t值。

綜合本小節所述,經由DCC-GARCH模型之分析,可得到下列結果:

1.本研究採用Engle(2002)之固定相關係數檢定方法,實證結果發現八國股市報酬率拒絕固定條件相關(Constant Conditional Correlation)之虛無假設,顯示八國股市相關性並非固定。

2.八國股市報酬率相關係數最高者為法國與義大利,相關係數最低者為臺灣與美國,此可做為資產管理及投資組合分散風險之參考。

3.八國股市報酬率間相關係數平均值與標準差呈現反向關係,亦即兩國股市報酬率間之相關係數愈高,其相關係數之變動愈小,代表兩者關係相對穩定。此現象可提供資產管理領域如基金經理人在配置投資標的時,考慮動態關係變動所可能帶來風險之參考。

4.八國股市報酬率間相關係數與共變異數呈現正向關係,亦即八國股市間之波動性升高時相關性會隨之上升,此亦說明國際股市之波動性及相關係數為動態之時間序列。本實證觀察之現象與Longin and Solnik(1995)觀察美、德、法、英、瑞士及日本六國股票市場間的關連性現象亦有類似之結果,惟前者研究之對象是股市,而本文研究之對象為股市。另當八國股市間之波動性升高時,亦會造成整體投資組合風險值之提高。

伍、結論

計算投資組合風險值之關鍵為各金融資產報酬率之共變異數矩陣,經由轉換,共變異數矩陣可變成相關係數矩陣,分析相關係數矩陣可瞭解投資組合各金融資產間之動態關係。本篇研究主要應用Engle(2002)提出之動態條件相關(Dynamic Conditional Correlation,DCC)多變量GARCH模型計算八國(G7之美國、英國、日本、德國、法國、加拿大、義大利以及臺灣)股價指數所組成投資組合1天及10天之風險值(Value-at-Risk,VaR),並比較SMA、EWMA及DCC-GARCH等三種模型在風險值之預測能力;另針對八國股市間波動性及相關係數,探討其動態關係。

在投資組合風險值之計算上,本文實證顯示:

1.整體而言,DCC-GARCH(1,1)-t 模型表現最佳,DCC-GARCH(1,1)模型表現次之,其餘EWMA模型及SMA模型則表現較差。

2.DCC-GARCH(1,1)-t模型之分配能捕捉厚尾特性且可估測到波動群聚現象,故其風險管理績效優異。

在八國股市間相關係數及共變異數之分析上,本文發現:

1.經由Engle(2002)之固定相關係數檢定方法,發現八國股市報酬率拒絕固定條件相關(Constant Conditional Correlation)之虛無假設,顯示八國股市報酬率相關性並非固定,應適用動態相關係數之模型。

2.DCC-GARCH模型顯示,八國股市報酬率相關係數最高者為法國與義大利,相關係數最低者為臺灣與美國,此可做為資產管理及投資組合分散風險之參考。

3.八國股市間之相關性及風險值會隨著波動性之提高而上升,說明國際股市之波動性及相關係數為動態之時間序列。

參考文獻

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